Помогите пожалуйста решить ряд

0 голосов
64 оценили
спросил от (20 баллов) в категории Алгебра

Помогите пожалуйста решить ряд


image

1 Ответ
0 голосов
ответил от Одаренный (4.0 тыс. баллов)

Если требуется исследовать ряды на сходимость, то можно в обоих случаях использовать радикальный признак Коши.

1)

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\arcsin^n\frac{\pi}{4n} } =\sqrt[n]{n} \arcsin\frac{\pi}{4n}=(*)

Здесь встретился довольно редко использующийся в учебных заданиях предел \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}. В курсе анализа доказывается, что этот предел равен 1.

Тогда (*)=1\cdot arcsin0=0

Предел меньше 1, поэтому ряд сходится.

2)

\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n^2}} =\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2n+3}{n+1} \right)^{n}=2^{\infty}=\infty

Ряд расходится.

...