![\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\geqslant\dfrac{|x|}{x}\sqrt[5]6](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B5%5D%7Bx-3%7D%2B%5Csqrt%5B5%5D%7Bx%2B3%7D%5Cgeqslant%5Cdfrac%7B%7Cx%7C%7D%7Bx%7D%5Csqrt%5B5%5D6 "\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\geqslant\dfrac{|x|}{x}\sqrt[5]6")
Посмотрим внимательно на неравенство.
- В правой части стоит выражение, содержащее |x|/x. Понятно, что при x не равном нулю это просто функция знака числа x (1, если x > 0, и -1, если x < 0). Тогда, если мы определимся со знаком x, в правой части останется просто число.
- В левой части монотонно возрастающая функция (очевидно, функция
![f(x)=\sqrt[5]x](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D%5Csqrt%5B5%5Dx "f(x)=\sqrt[5]x")
возрастает, тогда и f(x+-3) возрастает, ну а тогда и всё, что стоит в левой части, монотонно возрастает с ростом x
Так возникает идея разбить задачу на два случая (x < 0 и x > 0). Для каждого случая уравнение, соответствующее данному неравенству, будет иметь только один корень, поскольку монотонная функция принимает каждое своё значение только один раз.
1) x < 0
![\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\geqslant\sqrt[5]{-6}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B5%5D%7Bx-3%7D%2B%5Csqrt%5B5%5D%7Bx%2B3%7D%5Cgeqslant%5Csqrt%5B5%5D%7B-6%7D "\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\geqslant\sqrt[5]{-6}")
Легко угадать, что левая и правая части сравниваются при x = -3. Тогда при всех -3 < x < 0 неравенство выполняется, поскольку левая часть увеличивается с ростом x.
2) x > 0
![\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\geqslant\sqrt[5]{6}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%5B5%5D%7Bx-3%7D%2B%5Csqrt%5B5%5D%7Bx%2B3%7D%5Cgeqslant%5Csqrt%5B5%5D%7B6%7D "\sqrt[5]{x-3}+\sqrt[5]{x+3}\geqslant\sqrt[5]{6}")
И вновь легко угадывается корень x = 3. Рассуждая точно так же, как и в прошлый раз, получаем решение этого случая x >= 3
Остается лишь объединить эти два решения и получить окончательный
Ответ.
